Factorización de Ecuaciones de Tercer y Cuarto Grados: División Sintética

La división sintética es un procedimiento para factorizar funciones polinomiales, más simple que el procedimiento convencional de división de polinomios.

El procedimiento para llevar a cabo la factorización de una función por división sintética, es el siguiente:

Teniendo la función f(x) = x³ + 2x² – 19x – 20

• Buscamos los factores de 20, tanto los positivos como los negativos:

                Factores de 20 = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

• Evaluamos la función con los factores de ya encontrados. Lo que buscamos, es un factor que anule la función, es decir, que dé como resultado cero:

                f(1) = (1)³ + 2(1)² – 19(1) – 20

                       = 1 + 2 – 19 – 20 = – 36  El factor no anula la función, probamos con otro.

                f(– 1) = (– 1)³ + 2(– 1)² – 19(– 1) – 20

                       = – 1 + 2 + 19 – 20 = 0  El factor anula la función, por lo tanto es el factor que buscamos.

• Acomodamos SÓLO LOS COEFICIENTES, en la siguiente tabla, de mayor a menor grado:

• Se acomoda el factor que anuló la función en la caja de superior derecha:

• El primer coeficiente baja directo, es el que nos ayudará a iniciar el procedimiento:

• Multiplicamos ese primer coeficiente que bajamos, por el factor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente:

• Dependiendo de los signos, restamos a sumamos los valores del coeficiente y del producto anterior, y los colocamos en el espacio de abajo:

• Repetimos el procedimiento hasta terminar:

El objetivo es que el resultado final sea cero, como en el caso anterior.

Recordemos que toda función tiene una cantidad de factores lineales igual a su grado, por lo tanto esta función tendrá tres factores lineales. El primer factor lineal resulta de igual a cero el factor que encontramos al inicio:

x = – 1

x + 1 = 0

(x + 1) (        ) (         ) 

• Ahora vamos a buscar los dos factores que nos faltan, para esto armaremos una nueva función con los valores resultantes de la tabla:

 Dichos valores serán los coeficientes de los términos de la nueva función. Al iniciar, bajaremos un grado al término inicial de la función original, ya que se grado se encuentra “oculto” en el factor que ya encontramos. Nuestra nueva función quedaría de la siguiente manera:

f(x) = x² + x – 20

La función anterior podemos factorizarla con uno de los procedimientos que ya hemos visto para funciones cuadráticas. Sin embargo, la división sintética es como un método universal, por así decirlo, de modo que sirve para factorizar funciones de cualquier grado. Si no recordamos las reglas de factorización para funciones cuadráticas, podemos continuar con el proceso.

Realizaremos exactamente el mismo procedimiento, todo es como un ciclo que vuelve a iniciar luego de que armamos la nueva función. Dicho proceso termina hasta que todo nos queda en términos lineales:

• Factores de 20= ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20
• Probamos con algún factor:

f(–5) = (– 5)² + (– 5) – 20

       = 25 – 5 – 20 = 0 à Es el factor que buscamos

• Repetimos el procedimiento de la tabla:

• Acomodamos nuestro nuevo factor:

x = – 5

x + 5 = 0

(x + 1) (x + 5) (         )

• Armamos la nueva función:

f(x) = x – 4

Vemos que esta función es lineal, por lo tanto es nuestro tercer factor. De modo que nuestra factorización quedaría:

(x + 1) (x + 5) (x – 4)