Graficando Funciones Polinomiales a Partir de su Descomposición Factorial

Ya se ha revisado el procedimiento para graficar funciones polinomiales, pero el siguiente video demuestra la utilidad que tiene la descomposición factorial para graficar dichas funciones, proceso que es menos complejo que la construcción de la tabla de valores. Espero sea de ayuda y de fácil entendimiento.

Ejemplo de Descomposición Factorial por División Sintética: Caso Especial

Teniendo la función f(x) = x³ – 6x² – 6x – 7

• Buscamos los factores de 7:

                Factores de 20 = ±1, ±7

• Evaluamos la función con los factores de ya encontrados, para ver cuál anula la función:

                f(1) = (1)³ – 6(1)² – 6(1) – 7

                       = 1 – 6 – 6 – 7 = – 18 à El factor no anula la función, probamos con otro.

                f(7) = (7)³ – 6(7)² – 6(7) – 7

                       = 343 – 294 – 42 – 7 = 0 El factor anula la función.

• Realizamos la división sintética:

• Acomodamos el primer factor lineal:

x =7

x – 7 = 0

(x – 7) (        ) (         )

• Armaremos la nueva función con los valores resultantes de la tabla:

f(x) = x² + x + 1

Necesitaríamos buscar otro factor lineal, sin embargo, al intentar factorizar la nueva función, vemos que resulta imposible en el conjunto de los números reales, por lo que en casos como este la factorización queda así:

(x – 7) (x² + x + 1)

Ejemplo de Descomposición Factorial por División Sintética: Funciones Incompletas

Teniendo la función f(x) = x³ – 7x +6

• Primero que nada debemos observar detenidamente la función dada. Al hacerlo, podemos darnos cuenta de que carece del término cuadrático, es decir, no está completa, por lo que hay que rellenar esos espacios con ceros:

f(x) = x³ + 0x² – 7x + 6

Ahora sí, proseguimos a llevar el proceso ya antes mostrado.

• Buscamos los factores de 6, tanto los positivos como los negativos:

                Factores de 6 = ±1, ±2, ±3, ±6

• Comenzamos la evaluación de la función con alguno de los factores:

                f(1) = (1)³ + 0(1)² – 7(1) + 6

                       = 1 + 0 – 7 + 6 = 0 El factor anula la función.

• Acomodamos loa coeficientes en la tabla y llevamos a cabo la división sintética:

• Separamos en primer factor:

x = 1

x – 1 = 0

(x – 1) (        ) (         ) 

• Realizamos el procedimiento nuevamente, con la nueva función generada:

f(x) = x² + x – 6

• Factores de 6 = ±1, ±2, ±3, ±6
• Probamos con algún factor:

f(2) = (2)² + (2) – 6

       = 4 + 2 – 6 = 0 Es el factor que buscamos

• Repetimos el procedimiento de la división sintética:

• Acomodamos los nuevos factores:

(x – 1) (x – 2) (x + 3)

La anterior ya es nuestra factorización.

División Sintética: Actividades con Geogebra

Buen día. Comparto el siguiente enlace, en el cual podrán encontrar algunas actividades para trabajar con Geogebra, acerca de la división sintética, y puedan aprovechar los recursos tecnológicos.

División Sintética - Geogebra

Factorización de Funciones Cuárticas por División Sintética

El procedimiento a seguir para realizar la división sintética con funciones de cuarto grado, es exactamente el mismo, lo que varía es la extensión de este, ya que es necesario realizar el proceso una mayor cantidad de veces en cuanto mayor es el grado de la función. A continuación dejo un video para ejemplificar lo anteriormente dicho, en donde se factoriza una función cuártica por medio de la división sintética.