Descomposición Factorial: Teorema Fundamental del Álgebra

El teorema fundamental del álgebra enuncia que: dado que cualquier número real es también un número complejo, el teorema fundamental del álgebra el cual establece que P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +. . .+ a₁x + a₀. Cuando (n ≥ 1, a_n ≠ 0) se aplica a polinomios con coeficientes reales.

Esto significa que toda ecuación de grado 1 o mayor tiene al menos un número complejo como solución. Por tanto, toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n soluciones.

Puesto que todo cero es un polinomio, corresponde a un factor lineal (según el teorema del factor), el teorema fundamental del álgebra asegura que podemos factorizar cualquier polinomio P(x) de grado n como:

P(x) = (x – C₁) * Q₁(x)

Donde Q₁(x) es el grado n − 1 y C₁ es un cero de P(x). Al aplicar el teorema fundamental del álgebra al cociente Q₁(x), obtenemos la factorización:

P(x) = (x – C) * (x – C₂) * Q₂(x)

Donde Q₂(x) es el grado de n − 2 y C₂ es un cero de Q₁(x). Continuando este proceso durante n pasos, se llegará a un cociente final Q_n(x).

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.