Graficando Funciones Polinomiales a Partir de su Descomposición Factorial

Ya se ha revisado el procedimiento para graficar funciones polinomiales, pero el siguiente video demuestra la utilidad que tiene la descomposición factorial para graficar dichas funciones, proceso que es menos complejo que la construcción de la tabla de valores. Espero sea de ayuda y de fácil entendimiento.

Ejemplo de Descomposición Factorial por División Sintética: Caso Especial

Teniendo la función f(x) = x³ – 6x² – 6x – 7

• Buscamos los factores de 7:

                Factores de 20 = ±1, ±7

• Evaluamos la función con los factores de ya encontrados, para ver cuál anula la función:

                f(1) = (1)³ – 6(1)² – 6(1) – 7

                       = 1 – 6 – 6 – 7 = – 18 à El factor no anula la función, probamos con otro.

                f(7) = (7)³ – 6(7)² – 6(7) – 7

                       = 343 – 294 – 42 – 7 = 0 El factor anula la función.

• Realizamos la división sintética:

• Acomodamos el primer factor lineal:

x =7

x – 7 = 0

(x – 7) (        ) (         )

• Armaremos la nueva función con los valores resultantes de la tabla:

f(x) = x² + x + 1

Necesitaríamos buscar otro factor lineal, sin embargo, al intentar factorizar la nueva función, vemos que resulta imposible en el conjunto de los números reales, por lo que en casos como este la factorización queda así:

(x – 7) (x² + x + 1)

Ejemplo de Descomposición Factorial por División Sintética: Funciones Incompletas

Teniendo la función f(x) = x³ – 7x +6

• Primero que nada debemos observar detenidamente la función dada. Al hacerlo, podemos darnos cuenta de que carece del término cuadrático, es decir, no está completa, por lo que hay que rellenar esos espacios con ceros:

f(x) = x³ + 0x² – 7x + 6

Ahora sí, proseguimos a llevar el proceso ya antes mostrado.

• Buscamos los factores de 6, tanto los positivos como los negativos:

                Factores de 6 = ±1, ±2, ±3, ±6

• Comenzamos la evaluación de la función con alguno de los factores:

                f(1) = (1)³ + 0(1)² – 7(1) + 6

                       = 1 + 0 – 7 + 6 = 0 El factor anula la función.

• Acomodamos loa coeficientes en la tabla y llevamos a cabo la división sintética:

• Separamos en primer factor:

x = 1

x – 1 = 0

(x – 1) (        ) (         ) 

• Realizamos el procedimiento nuevamente, con la nueva función generada:

f(x) = x² + x – 6

• Factores de 6 = ±1, ±2, ±3, ±6
• Probamos con algún factor:

f(2) = (2)² + (2) – 6

       = 4 + 2 – 6 = 0 Es el factor que buscamos

• Repetimos el procedimiento de la división sintética:

• Acomodamos los nuevos factores:

(x – 1) (x – 2) (x + 3)

La anterior ya es nuestra factorización.

División Sintética: Actividades con Geogebra

Buen día. Comparto el siguiente enlace, en el cual podrán encontrar algunas actividades para trabajar con Geogebra, acerca de la división sintética, y puedan aprovechar los recursos tecnológicos.

División Sintética - Geogebra

Factorización de Funciones Cuárticas por División Sintética

El procedimiento a seguir para realizar la división sintética con funciones de cuarto grado, es exactamente el mismo, lo que varía es la extensión de este, ya que es necesario realizar el proceso una mayor cantidad de veces en cuanto mayor es el grado de la función. A continuación dejo un video para ejemplificar lo anteriormente dicho, en donde se factoriza una función cuártica por medio de la división sintética.

Factorización de Ecuaciones de Tercer y Cuarto Grados: División Sintética

La división sintética es un procedimiento para factorizar funciones polinomiales, más simple que el procedimiento convencional de división de polinomios.

El procedimiento para llevar a cabo la factorización de una función por división sintética, es el siguiente:

Teniendo la función f(x) = x³ + 2x² – 19x – 20

• Buscamos los factores de 20, tanto los positivos como los negativos:

                Factores de 20 = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

• Evaluamos la función con los factores de ya encontrados. Lo que buscamos, es un factor que anule la función, es decir, que dé como resultado cero:

                f(1) = (1)³ + 2(1)² – 19(1) – 20

                       = 1 + 2 – 19 – 20 = – 36  El factor no anula la función, probamos con otro.

                f(– 1) = (– 1)³ + 2(– 1)² – 19(– 1) – 20

                       = – 1 + 2 + 19 – 20 = 0  El factor anula la función, por lo tanto es el factor que buscamos.

• Acomodamos SÓLO LOS COEFICIENTES, en la siguiente tabla, de mayor a menor grado:

• Se acomoda el factor que anuló la función en la caja de superior derecha:

• El primer coeficiente baja directo, es el que nos ayudará a iniciar el procedimiento:

• Multiplicamos ese primer coeficiente que bajamos, por el factor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente:

• Dependiendo de los signos, restamos a sumamos los valores del coeficiente y del producto anterior, y los colocamos en el espacio de abajo:

• Repetimos el procedimiento hasta terminar:

El objetivo es que el resultado final sea cero, como en el caso anterior.

Recordemos que toda función tiene una cantidad de factores lineales igual a su grado, por lo tanto esta función tendrá tres factores lineales. El primer factor lineal resulta de igual a cero el factor que encontramos al inicio:

x = – 1

x + 1 = 0

(x + 1) (        ) (         ) 

• Ahora vamos a buscar los dos factores que nos faltan, para esto armaremos una nueva función con los valores resultantes de la tabla:

 Dichos valores serán los coeficientes de los términos de la nueva función. Al iniciar, bajaremos un grado al término inicial de la función original, ya que se grado se encuentra “oculto” en el factor que ya encontramos. Nuestra nueva función quedaría de la siguiente manera:

f(x) = x² + x – 20

La función anterior podemos factorizarla con uno de los procedimientos que ya hemos visto para funciones cuadráticas. Sin embargo, la división sintética es como un método universal, por así decirlo, de modo que sirve para factorizar funciones de cualquier grado. Si no recordamos las reglas de factorización para funciones cuadráticas, podemos continuar con el proceso.

Realizaremos exactamente el mismo procedimiento, todo es como un ciclo que vuelve a iniciar luego de que armamos la nueva función. Dicho proceso termina hasta que todo nos queda en términos lineales:

• Factores de 20= ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20
• Probamos con algún factor:

f(–5) = (– 5)² + (– 5) – 20

       = 25 – 5 – 20 = 0 à Es el factor que buscamos

• Repetimos el procedimiento de la tabla:

• Acomodamos nuestro nuevo factor:

x = – 5

x + 5 = 0

(x + 1) (x + 5) (         )

• Armamos la nueva función:

f(x) = x – 4

Vemos que esta función es lineal, por lo tanto es nuestro tercer factor. De modo que nuestra factorización quedaría:

(x + 1) (x + 5) (x – 4)

Materiales para Evaluar

En el enlace siguiente, podrán encontrar exámenes en línea de ThatQuiz, que podrán aplicar para evaluar los conocimientos adquiridos acerca de la factorización de funciones de segundo grado.

Evaluado Descomposición Factorial de Funciones de Segundo Grado

Video Sobre Factorización de un Trinomio de la forma x^2 + bx + c

Para comprender el procedimiento de manera más visual, dejo a su disposición el siguiente video.

Algunos Ejemplos de Factorización Trinomios de la forma x^2 + bx + c

En esta entrada explicaré unos cuantos ejemplos sobre factorización de trinomios de la forma x^2 + bx + c.

Primer ejemplo

Teniendo la función f(x) = x² + 5x + 6

• Lo primero que haremos será sacar la raíz del primer término del trinomio, y acomodarla  en cada uno de los binomios:

• Ahora acomodaremos los signos. En el primer paréntesis colocaremos el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo el signo que resulte de multiplicar el segundo signo del trinomio por el tercero.

• Buscaremos dos números que sumados o restados, den como resultado el valor absoluto del segundo término y multiplicados den como producto el valor absoluto del tercer término. En este caso los signos de los binomios son iguales (ambos positivos), por lo que los números que buscamos tendrán que sumarse:

• Ya tenemos la factorización de nuestra función:

Segundo ejemplo

Teniendo la función f(x) = x² – 7x + 12

• Nuevamente buscamos la raíz cuadrada del primer término y acomodamos:

• Acomodamos los signos como corresponde:

• Debido a que los signos de los binomios son iguales, los número que buscamos se sumarán:

• El resultado de la factorización es:

Tercer ejemplo

Teniendo la función f(x) = x² – 5x – 14

Factorización de Funciones Cuadráticas: Trinomios de la forma x^2 + bx + c

A diferencia de los productos explicados anteriormente, en estos casos sólo uno de los términos tiene raíz cuadrada exacta.

Para saber si una función cuadrática entra en este tipo de productos, tendremos que cuidar que cumpla las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término siempre es igual a 1 y siempre positivo.
• El primer término contiene una literal cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término comparte la misma literal que el primero, pero su exponente es igual a 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer término es independiente y es un número real cualquiera.

Para factorizar un trinomio de este tipo, se tiene que seguir el procedimiento siguiente:

1. Primero se obtiene la raíz del primer término (del término cuadrático), que será el primer término de los dos binomios a construir.
2. Se acomodan los signos que separaran a los términos de los binomios. En el primer factor se escribe el signo del segundo término; en el segundo factor, se escribe el signo que resulte de multiplicar el segundo signo del trinomio por el tercero.
3. Se buscan dos números que sumados o restados, den como resultado el valor absoluto del segundo término y multiplicados den como producto el valor absoluto del tercer término, y se acomoda en los binomios. Si los signos de los binomios tienen signos iguales, ya sean positivos o negativos, los números a buscar se sumarán. En caso contrario, se restarán; el mayor se colocará en el primer binomio, y el menor en el segundo.

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Ejemplo de Factorización de Una Diferencia de Cuadrados (Video)

En el video de a continuación se explica detalladamente, el proceso a seguir para factorizar una diferencia de cuadrados.

Ejemplos de Factorización de Diferencias de Cuadrados

A continuación explico el  procedimiento a seguir para factorizar diferencias de cuadrados, en los ejemplos.

Primer ejemplo

Teniendo la función f(x) = x² – 25

• El primer paso a seguir es obtener las raíces cuadradas de los dos términos.

• Después multiplicamos la suma de dichas raíces por la diferencia de las mismas.

• Y esa es la factorización de nuestra función original.

Segundo ejemplo

Teniendo la función f(x)= 36x² – 144

• Iniciamos obteniendo las raíces cuadradas de los dos términos.

• Completamos los binomios conjugados.

• Y tenemos la factorización de nuestra función.

Factorización de Funciones Cuadráticas: Diferencia de Cuadrados

Una diferencia de cuadrados, se caracteriza, como su nombre lo dice, por ser dos cantidades elevadas al cuadrado que se están restado, es decir:

a² – b²

Dichas cantidades son el producto de dos binomios conjugados.

Para poder factorizar este tipo de funciones, se sigue el siguiente procedimiento:

• Obtener la raíz cuadrada de ambos términos.
• Acomodar los términos en los paréntesis, de tal modo que se multiplique la suma de las raíces cuadradas, por la diferencia de estas (se arman los binomios conjugados).

En otras palabras, el procedimiento se ilustra como sigue:

a² – b²= (a + b) (a – b)

Video de Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

Buen día, les dejo un video con explicaciones detalladas acerca de la factorización de trinomios cuadrados perfectos, de segundo grado. 

Ejemplos de Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

Primer ejemplo

Teniendo la siguiente función: f(x)= x² + 2x + 1

• Lo primero que tenemos que hacer es sacar las raíces cuadradas del primer y tercer términos:

• Después hay que separar ambas raíces por el signo del segundo término:

• Por último, recordemos que la potencia es la multiplicación abreviada de un mismo número, por lo que podríamos expresar el resultado de la siguiente manera:

Segundo ejemplo

Teniendo la siguiente función: f(x)= 4x² - 12x + 9y²

• Primero que nada, es necesario aclarar que al sacar las raíces de los términos también se debe tomar en cuenta a los coeficientes, por lo tanto quedaría del siguiente modo:

• Separamos por el signo del segundo término:

• Ahora sólo queda simplificar el resultado:

Factorización de Funciones de Cuadráticas: Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto, es un producto generado de un binomio al cuadrado, es decir, que los factores, o binomios a multiplicar, son totalmente iguales. Es decir, a² + 2ab + b² es el cuadrado de a + b.
Ya que:

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²

Podemos comprender el proceso de manea un poco más visual, si armamos un cuadro como el siguiente y vemos el procedimiento como un cálculo de áreas:

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, basta con extraer la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio, separadas por el signo del segundo término, e indicar que el binomio se eleva al cuadrado. 

Descomposición Factorial: Teorema de Factorización Lineal

El último teorema a revisar, es el de factorización lineal, el cual dice que:

Un polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales.

Por ejemplo:

y = x³ – 3x² – 6x + 18

La función se iguala a cero:

x²(x − 3) − 6(x − 3) = 0

Se factoriza:

(x − 3)(x² − 6) = 0

Al resolver los términos:

(x − 3) = 0            (x² − 6) = 0

x = 3                         x = ± √6

Es importante recalcar, que un función puede descomponerse en factores LINEALES como su grado lo indica. Dicho esto, se entiende la razón del porqué las funciones constantes y lineales no son factorizables.

Ejercicios:

a) x³ + 2x² – 3x +6

b) x³ + 4x² – 8x + 32

c) x⁴ – 2x³ – 4x² + 8x

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Descomposición Factorial: Teorema Fundamental del Álgebra

El teorema fundamental del álgebra enuncia que: dado que cualquier número real es también un número complejo, el teorema fundamental del álgebra el cual establece que P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +. . .+ a₁x + a₀. Cuando (n ≥ 1, a_n ≠ 0) se aplica a polinomios con coeficientes reales.

Esto significa que toda ecuación de grado 1 o mayor tiene al menos un número complejo como solución. Por tanto, toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n soluciones.

Puesto que todo cero es un polinomio, corresponde a un factor lineal (según el teorema del factor), el teorema fundamental del álgebra asegura que podemos factorizar cualquier polinomio P(x) de grado n como:

P(x) = (x – C₁) * Q₁(x)

Donde Q₁(x) es el grado n − 1 y C₁ es un cero de P(x). Al aplicar el teorema fundamental del álgebra al cociente Q₁(x), obtenemos la factorización:

P(x) = (x – C) * (x – C₂) * Q₂(x)

Donde Q₂(x) es el grado de n − 2 y C₂ es un cero de Q₁(x). Continuando este proceso durante n pasos, se llegará a un cociente final Q_n(x).

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Descomposición Factorial: Teorema del Factor

El teorema del factor dice lo siguiente:

Si “c” es una raíz de f(x) =0, es decir f(c)=0, entonces x – c, es un factor de f(x).

Por ejemplo: f(x)= x³ – 7x + 6

Si x= 1

f (x) = (1)³ – 7(1) + 6

= 1 – 7 + 6 = 0

Si x= 2

f(x) = (2)³ – 7(2) + 6

= 8 – 14 + 6 = 0

Si x= 3

f(x) = (3)³ – 7(3) + 6

= 27 – 21 + 6 = 12 "No es raíz "

Si x= -3

f(x)= (– 3)³ – 7(– 3) + 6

= – 27 – 21 + 6 = 0

Entonces tenemos que:

(x − 1)(x − 2)(x + 3) = 0, entonces:

x₁ = 1 , x₂ = 2 , x₃ = −3

Recordando que si f(c) = 0, entonces el número c es un cero del polinomio f. También podemos expresar lo anterior diciendo que c es una raíz de la ecuación polinomial f(x) =0, así los ceros del polinomio son 1, 2 y − 3.

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Descomposición Factorial: Teorema del Residuo

El método más comúnmente usado en la resolución de funciones de orden 3 ó 4 es la división.

El Teorema del residuo se enuncia de la siguiente forma:

Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x - c, donde “c” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(c).

Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir a en el polinomio.

El proceso de la división de polinomios es muy parecida al proceso de la división con números.

Por ejemplo:

El proceso termina cuando el último renglón es de menor grado que el divisor. Entonces el último renglón contiene el residuo, y el superior al cociente, interpretando el resultado de la siguiente manera:

Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación:

Si se considera f(x) = 6x² – 26x + 12 y se evalúa en x= 4, el cual resulta de despejar a

x − 4 = 0 se obtiene:

f(x) = 6x² – 26x + 12

f(4) = 6(4)² – 26(4) + 12

f(4) = 6(16) – 26(4) + 12

f(4) = 96 – 104 + 12

f(4) = 4

Lo cual significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, ya que el polinomio evaluado en x=4 resulta 4, como el residuo en la división.

Este teorema es importante para encontrar las raíces o ceros de una función, pues si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio.

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Descomposición Factorial

Para entender lo que es la descomposición factorial, primero debemos recordar algunos conceptos básicos de operaciones aritméticas.

Un número cualquiera puede descomponerse en otros elementos que al multiplicarse dan origen a dicho número. Esos números a multiplicarse reciben el nombre de factores, y al resultado de dicha multiplicación se le conoce como producto.

Entendido esto, el proceso de factorización trata de encontrar los factores que al ser multiplicados dieron como producto la función en cuestión.

Dependiendo del grado de la función, se aplican procedimientos de factorización diferentes.

¿Qué Son los Ceros o Raíces de Una Función?

A las soluciones de una función polinomial se les llaman raíces o ceros de una función. Dichas raíces, son aquellos números que hacen que el valor de y (o f(x)) sea igual a cero, es decir, y=0. Gráficamente, son aquellos puntos en los que la función corta al eje de las x.

Para encontrar las raíces o ceros de una función es necesario considerar que f(x)= 0.

Cuando es una función de primer grado, su solución es resolver despejando la variable x, por ejemplo:

f(x)= 4x – 8

Si f(x)= 0, entonces 4x – 8 = 0

Despejando x tenemos:

4x = 8

x= 8/4

x = 2

Esto significa que la gráfica cortaría en 2.

UNA FUNCIÓN POLINOMIAL, TIENE UNA CANTIDAD DE RAÍCES IGUAL A SU GRADO

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Problemas de Aplicación Para Funciones Cúbicas y Cuárticas

Las siguientes son situaciones-problema que ayudan a poner en práctica los conocimientos adquiridos de funciones cúbicas y cuárticas. Espero les sean de ayuda.

Problema 1

Una caja de cartón tiene una base cuadrada y cada una de las cuatro aristas de la base tiene una longitud de x pulgadas. La longitud total de las aristas de la caja es de 144 pulgadas.

a) Expresa el volumen V de la caja como una función de x.

b) Trace la gráfica de la función V.

c) Dado que tanto x como V representan cantidades positivas (longitud y volumen, respectivamente), ¿cuál es el dominio de V?

Problema 2

La caja de un tráiler que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 100 m, si el ancho es x, el largo 3x+3 y la altura 2x-2 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

Problema 3

Un silo de granos está formado por una sección principal cilíndrica y un techo semiesférico. Si el volumen total del silo (incluyendo la parte dentro de la sección del techo) es de 15,000 pies³ y la parte cilíndrica tiene 30 pies de altura, ¿cuál es el radio del silo, aproximado a la décima de pie más cercana?

Problema 4

Un predio rectangular tiene un área de 5000 pies². Una diagonal entre esquinas opuestas mide 10 pies más que un lado del predio. ¿Cuáles son las dimensiones del predio, aproximadas al entero más cercano?

Actividad Propuesta para Trabajar con Funciones Cúbicas y Cuárticas

Dejo a su disposición la siguiente actividad para trabajar con funciones cúbicas y cuárticas. 

Funciones de Grado Cuatro o Cuárticas

Una función cuártica, es aquella en la que el mayor exponente encontrado entre sus términos es cuatro, de ahí que también se le conozca con el nombre de función de grado cuatro. La notación general para una función cuártica es la siguiente:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + d

Nuevamente, el valor de a debe ser diferente de cero, de lo contrario no existiría el término cuártico y la función ya no entraría en esta categoría,

En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta -∞ a +∞.

Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos: en caso de que el parámetro a sea positivo, la función tiende infinitamente hacia arriba; si el parámetro a es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.

Una gráfica de cuarto grado, corta en 4 puntos al eje de las x, tal como se observa en la siguiente gráfica:

Referencias:

Rivera, N. (2012). Matemáticas IV. Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias. México.

Geogebra: Secuencias de Funciones Cúbicas

En el siguiente enlace podrán encontrar actividades para poner en práctica con el software Geogebra, referentes a las funciones cúbicas.

Funciones Cúbicas: Actividades con Geogebra

Funciones Cúbicas: Actividad Propuesta

La siguiente actividad servirá para reforzar los conocimientos acerca del trazado de gráficas y el comportamiento de estas, a través del análisis de los parámetros de las funciones cúbicas.